یکی از وسیعترین ایده های ریاضیات جدید تجرید است. دو طرز تفکر متفاوت درباره اعمال و قوانین وجود دارد:

۱) قوانین را می توانیم به عنوان گزاره های درست راجع به اعمال ویژه ای روی اشیا خاص در نظر بگیریم.

۲) قوانین را می توانیم به عنوان قواعد یک بازی در نظر بگیریم بدون توجه به ماهیت اشیایی که روی آنها عمل انجام می گیرد. در این مورد هدف دست یافتن به قوانین جدید به کمک قوانین مفروض با روش های کاملا منطقی ست.

به عنوان مثال چنانچه منظور ما به طور مشخص مطالعه جبر اعداد حقیقی یا جبر ماتریهای حقیقی ۲*۲ باشد روش ۱ را تعقیب می کنیم. از طرف دیگر چنانچه صرفا مطالعه نتایج منطقی قوانین جبر استانده مورد نطر باشد روش ۲ را دنبال می کنیم. اینکه در حقیقت این دو روش با هم متفاوت ان بسادگی می تواند با عبارت "معادله x2=2 دارای جواب است" توصیف شود. این عبارت در جبر اعداد حقیقی درست ولی در جبر اعداد گویا نادرست است.چون قوانین جبر استانده در جبر اعداد گویا معتبرند نتیجه می شود که وجود جواب برای x2=2 نتیجه ای منطقی از این قوانین نیست. بنابراین گزاره های درستی درباره اعداد حقیقی موجودند که در جبر استانده قضیه نیستند.
جبر مجرد عبارت است از مطالعه اعمال و قوانین به وسیله روش 2 و مثال خوبی است از روش اصل موضوعی که مشخصه بارز ریاضیات قرن بیستم می باشد. در روش اصل موضوعی عبارات معینی را در مورد اشیا نامشخص فرض می کنیم و نتایج منطقی آنها را مورد بررسی قرار می دهیم. در حالت مورد نظر ما اشیا نامشخص عبارتند از اعمال و چیزهایی که عمل روی آنها انجام می گیرد و اصول موضوعه قوانینی هستند که مورد مطالعه ما می باشند.
اولین مزیت جبر مجرد عمومیت ان است. یعنی هر عبارتی که بتواند از یک مجموعه قوانین مفروض نتیجه شود در هر مبحث جبری دیگری که این قوانین در آن صادق اند نیز برقرار خواهد بود. این امر باعث اختصار زیادی در برهان می شود به طوریکه در بسیاری از زمینه ها برای اثبات قضایای مشابه یک اثبات به کار می رود. مزیت دیگری که عمومیت را تقویت می کند انعطاف پذیری ست. شخص آزاد است که یک مجموعه از قوانین را انتخاب و تحت ملاحظه خاص در آورد و قوانینی را که نامناسب به نظر می رسند به کنار زند. سومین و مهمترین مزیت وضوح است. پدیده "دیده نشدن جنگل به علت دیدن درختها" به خصوص در ریاضیات حتی در بین متخصصان خیلی معمول است. تاریخ ریاضیات بدفعات شاهد این بوده است که یک قضیه مشکل و مبهم در بخش خاصی از این علم بعدها به صورت حالت ویژه ای از یک اصل کلی با سادگی اعجاب آور و کاربرد فراوان ظاهر شده است. نکته این است که یک فرد با انباشته ای از دانستنیها درباره موضوعات مخصوص ریاضی رشد می کند و هنگامیکه با مساله ای مواجه می شود تمایل دارد اولین مطلب ریاضی را که به فکرش خطور می کند و در مورد مساله به نظرش می رسد به کار گیرد. در صورتیکه غالبا فقط هنگامیکه بدون در نظر گرفتن برخی از این حقایق ریاضی اقدام به اثبات کند به استدلال ساده تری که بر اصول اساسیتری متکی ست دسترسی پیدا می کند. روش اصل موضوعی به وسیله حذف فرضیات  زائد و مبنا قرار دادن حداقل اطلاعات به ایضاح ارتباطات منطقی بین مطالب ریاضی کمک می کند که با سایر روشها ممکن نیست. برای آنهایی که در مورد ارزش پرداختن به جبر مجرد نیاز به متقاعد شدن دارند یا تصور می نمایند که جبر مجرد ممکن است بغایت مشکل باشد بایستی تذکر داده شود که این روش را احتمالا در طول سالها به طور ضمنی مورد استفاده قرار داده اند. آیا آنها هنگامیکه در جبر مقدماتی مشغول محاسبه دستورات و معادلات بوده اند در هر مرحله به یاد داشته اند که علائم در نقش اعداد حقیقی اند و این امر را در اندیشه راجع به انجام مرحله بعدی به کار می گرفته اند؟ یا اینکه محاسبات به طور مکانیکی و بدون توجه به معنی حروف و فقط با به کارگیری دستورات معینی که به صورت طبیعت ثانویه شخص در آمده بود انجام می شده است؟ این امر که بعضی از آنها قواعد غلط را به کار می برده اند صرفا گواه آن است که در واقع در جبر مجرد کار می کرده اند.
منظور از علامت * همان " ضرب "  است .
 

نوشته شده توسط انجمن علمی ریاضیات کاربردی در شنبه 86/1/18 و ساعت 4:54 عصر | نظرات دیگران()